Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n+2n，n∈N₊．
（1）求證：a₂是a₁，a₃的等比中項；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知結合數(shù)列遞推式求出a₂，a₃的值，由此可得a₂是a₁，a₃的等比中項；
（2）在數(shù)列遞推式中分別取n=1，2，3，…，然后利用累加法求得數(shù)列通項公式．

解答： （1）證明：由a₁=2，a_n+1=a_n+2n，得a₂=a₁+2=2+2=4，a₃=a₂+2×2=4+4=8，
∵a22=42=2×8=a1a3，∴a₂是a₁，a₃的等比中項；
（2）解：由a₁=2，a_n+1=a_n+2n，得：
a₂=a₁+2×1，
a₃=a₂+2×2，
a₄=a₃+2×3，
…
a_n=a_n-1+2（n-1）．
∴a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）]=2+2×

(1+n-1)(n-1)

2

=2+n²-n．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．