已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2
x2
3
-y2=1
.若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1、雙曲線C2都恒有兩個不同的交點,且l與C2的兩交點A、B滿足
OA
OB
<6
(其中O為原點),求k的取值范圍.
分析:由l與橢圓C1恒有兩個不同的交點,可得解得 k2
1
4
 ①,由l與C2 有兩個不同的交點可得 k2
1
3
,且k2<1  ②,再由
OA
OB
<6
 可得k2
13
15
 或k2
1
3
  ③,結(jié)合①②③求得k2的取值范圍,即可得到k的取值范圍.
解答:解:將y=kx+
2
代入
x2
4
+y2=1
得,(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0
,
由判別式 1=(8
2
k)2-16(4k2+1)>0
,解得 k2
1
4
 ①.
y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1
得,(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0,
由l與C2 有兩個不同的交點可得
1-3k2≠ 0
2=(- 6
2
k)
2
+36(1-3k2)>0
,解得 k2
1
3
,且k2<1  ②,
根據(jù)
OA
OB
=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)
+2=
3k2+7
3k2-1
<6,
解得k2
13
15
,或k2
1
3
  ③.  由①②③得
1
4
k2
1
3
,或
13
15
k2<1

故k的取值范圍為:(-1,-
13
15
)∪(-
3
3
,-
1
2
)∪(
1
2
,
3
3
)∪(
13
15
,1)
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用,求得
1
4
k2
1
3
,或
13
15
k2<1
,是解題的難點和關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
和拋物線C2:y2=2px(p>0),過點M(1,0)且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B,與橢圓交于C、D,當(dāng)|AB|:|CD|=5:3時,求p的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x24
+y2=1
,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,過O的直線l與C1相交于A,B兩點,且l與C2相交于C,D兩點.若|CD|=2|AB|,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
,橢圓C2以橢圓C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率,則橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
16
+
x2
4
=1
y2
16
+
x2
4
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
,其左準(zhǔn)線為l1,右準(zhǔn)線為l2,一條以原點為頂點,l1為準(zhǔn)線的拋物線C2交l2于A,B兩點,則|AB|等于( 。
A、2B、4C、8D、16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點和上頂點分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
C2
x2
16
+
y2
4
=1
判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程,并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
(3)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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