Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（3）證明:.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上是增函數(shù)，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，分和兩種情況分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知時，不成立，故，又由（1）知的最大值為，只需即可，即可求解；（3）由（2）知，當(dāng)時，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，進而，則，即，即可證明結(jié)論.

試題解析：（1） 函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，若時，有，

若時，有，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）由（1）知時，在上是增函數(shù)，而不成立，故，又由（1）知的最大值為，要使恒成立，則即可，

即，得.

（3）由（2）知，當(dāng)時，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，

，即，在上恒成立，令，則，

即，從而

得證.