Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b為常數(shù)）滿足f（0）=f（1），方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=f（1），且f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出f（x）在x∈[0，4]時(shí)的最值，即得值域．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b為常數(shù)）滿足f（0）=f（1），
∴二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱，
故-

a

2

=

1

2

，解得：a=-1，
又∵方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
即x²-2x+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
即△=4-4b=0，
解得：b=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-x+1的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=

1

2

為對(duì)稱軸的拋物線，
故函數(shù)f（x）在[0，

1

2

]上為減函數(shù)，在[

1

2

，4]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值

3

4

，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值13，
故當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

3

4

，13]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值，從而得值域的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．