Question

已知點A的坐標為(

3

2

，0)，點B在圓O：x²+y²=7上運動，以點B為一端點作線段BM，使得點A為線段BM的中點．
（1）求線段BM端點M軌跡C的方程；
（2）已知直線x+y-m=0與軌跡C相交于兩點P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用代入法，求線段BM端點M軌跡C的方程；
（2）聯(lián)立直線和軌跡C的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O得到

OP

•

OQ

=0．代入根與系數(shù)關(guān)系即可求得m的值．

解答： 解：（1）設(shè)B（x₀，y₀），M（x，y）
∵A是BM中點，
∴3=x₀+x，0=y₀+y
∴x₀=3-x，y₀=-y
代入x₀²+y₀²=7
∴（3-x）²+y²=7
即（x-3）²+y²=7…（6分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則直線x+y-m=0與軌跡C，消去y得2x²-（6+2m）x+m²+2=0
∴x₁+x₂=3+m，x₁x₂=（m²+2）/2…（9分）
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O
∴

OP

⊥

OQ

，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（-x₁+m）（-x₂+m）=0
∴2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=0
∴m²+2-m（3+m）+m²=0
∴m²-3m+2=0
∴（m-1）（m-2）=0
∴m=1或2…（12分）

點評：本題給出直線與圓相交于點P、Q，并且以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O，求參數(shù)的值．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．