Question

【題目】黃河被稱為我國(guó)的母親河，它的得名據(jù)說(shuō)來(lái)自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現(xiàn)黃色， 黃河的水源來(lái)自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經(jīng)黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫(kù)附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設(shè)黃河和洮河在汛期的水流量均為2000，黃河水的含沙量為，洮河水的含沙量為，假設(shè)從交匯處開(kāi)始沿岸設(shè)有若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，兩股河水在流經(jīng)相鄰的觀測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中，其混合效果相當(dāng)于兩股河水在1秒內(nèi)交換的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.

（1）求經(jīng)過(guò)第二個(gè)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)，兩股河水的含沙量；

（2）從第幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股河水的含沙量之差小于?（不考慮泥沙沉淀）

Answer 1

【答案】（1）洮河水的含沙量為，黃河水的含沙量為.（2）第8個(gè)觀測(cè)點(diǎn)

【解析】

（1）用，分別表示河流在經(jīng)過(guò)第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)，洮河水和黃河水的含沙量，則，，利用遞推關(guān)系求出即可得結(jié)果；（2）由題意可知， ， 兩式結(jié)合化簡(jiǎn)可得數(shù)列是以18為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 求出通項(xiàng)公式，解不等式即可得結(jié)果.

（1）用，分別表示河流在經(jīng)過(guò)第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)，洮河水和黃河水的含沙量，

則，.

由題意可知，，

，

即經(jīng)過(guò)第二個(gè)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)，洮河水的含沙量為，黃河水的含沙量為.

（2）由題意可知，

，

由于題目中問(wèn)題考慮河水中含沙量之差，故可考慮數(shù)列，

由上式可知，，，

所以數(shù)列是以18為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

則，令則，，

即從第8個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股河水的含沙量之差小于.