Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，，都是邊長為2的等邊三角形，取中點，連接，則，，……………………2分

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根據(jù)題意，點落在上，

∴，易求得，…………4分

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面 …………6分

（Ⅱ）解法一：作，垂足為，連接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分

中，，，．

∴．即二面角的余弦值為.………12分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，可知平面的一個法向量為

設(shè)平面的一個法向量為

則，可求得．………………9分

所以，

又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，所以二面角的余弦值為．…