Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）證明{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將數(shù)列遞推式兩邊同時(shí)加上1，化簡(jiǎn)后再作商可得數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，再求出a_n．
（2）應(yīng)用分組求和、錯(cuò)位相減法，再相加即可．

解答： （1）證明：由題意知a_n+1=2a_n+1，則a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，∴a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
則有a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）解：b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n．
令d_n=n•2ⁿ
令S=1×2+2×4+…+n•2ⁿ
2S=1×4+2×8+9×8+…+n•2ⁿ⁺¹
∴S=（n-2）•2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了構(gòu)造新的等比數(shù)列求出通項(xiàng)問(wèn)題，考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用，和分組求和、錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．?dāng)?shù)列的遞推公式為：a_n+1=Aa_n+B，其中A和B是常數(shù)，構(gòu)造出 a_n+1+k=A（a_n+k）式子，再證明數(shù)列{a_n+k}是等比數(shù)列即可．