Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x-c）²+y²=4a²截得弦長為2b（其中c為雙曲線的半焦距），則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓（x-c）²+y²=4a²截得弦長為2b，結(jié)合勾股定理，推出a，b，c關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx+ay=0，圓（x-c）²+y²=4a²的圓心到雙曲線的漸近線的距離為：$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=b$，
∵漸近線被圓（x-c）²+y²=4a²截得的弦長為：2b，
∴b²+b²=4a²，
∴b²=2a²，即c²=3a²，
∴e=$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，圓與雙曲線以及直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．