Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C經(jīng)過點(diǎn)O，交x軸正半軸于點(diǎn)B（2，0），P是弧OwB上的一個動點(diǎn)，且∠OPB=30°，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）．
（1）當(dāng)n=2

3

，求m的值；
（2）設(shè)圖中陰影部分的面積為S，求S與n之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）試探索動點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在整點(diǎn)P（m，n）（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)）？若存在，請求出，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用直角三角形求解m=4

3

cos30°；
（2）利用分割思想求解S_△OPB=

1

2

×2×n=n，S_弓形=

1

2

×

2π

3

×2-

1

2

×2×

3

=

2π

3

-

3

；
（3）利用m=0，m=1，m=2代入方程求解得出n的值，判斷即可．

解答： 解：（1）n=2

3

，
OP=4

3

，
m=4

3

cos30°=4

3

×

3

2

=6，
（2）P（m，n）．
S_△OPB=

1

2

×2×n=n，
S_弓形=

1

2

×

2π

3

×2-

1

2

×2×

3

=

2π

3

-

3

，
∴圖中陰影部分的面積為S=

2π

3

-

3

+n，
n的最大值為2+

3

最大值為

2π

3

-

3

+2+

3

（3）圓心為（1，

3

），
半徑為2，圓的方程為（x-1）²+（y-

3

）²=4，
可得：（m-1）²+（n-

3

）²=4，0＜m＜2，0＜n≤2+

3

當(dāng)m=0時，1+（n-

3

）²=4，
得出n=0，或n=2

3

，
當(dāng)m=1時，（1-1）²+（n-

3

）²=4，
得出n=

3

±2，
當(dāng)m=2時，（2-1）²++（n-

3

）²=4，
得出n=0，或n=2

3

，
綜上：在運(yùn)動過程中不存在整點(diǎn)P（m，n）（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)）

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的方程問題，平面幾何知識的運(yùn)用，屬于中檔題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為三角形，求解，難度不大．