Question

已知圓O：x²+y²=4．
（1）直線l₁：

3

x+y-2

3

=0與圓O相交于A、B兩點，求|AB|；
（2）如圖，設M（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，點M關于原點的對稱點為M，點M關于x軸的對稱點為M₂，如果直線=PM₁、PM₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求出圓心（0，0）到直線

3

x+y-2

3

=0的距離，再利用弦長公式求得弦長AB的值．
（2）先求出M₁和點M₂的坐標，用兩點式求直線PM₁ 和PM₂的方程，根據方程求得他們在y軸上的截距m、n的值，計算mn的值，可得結論．

解答： 解：（1）由于圓心（0，0）到直線

3

x+y-2

3

=0的距離d=

3

．
圓的半徑r=2，∴|AB|=2

4-3

=2．…（4分）
（2）由于M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，則可得M₁（-x₁，-y₁）、M₂（x₁，-y₁），且x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=4．…（8分）
根據PM₁的方程為

y+y1

y2+y1

=

x+x1

x2+x1

，令x=0求得y=m=

x1y2-x2y1

x2+x1

．
根據PM₂的方程為

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，令x=0求得y=n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

．…（12分）
∴mn=

x1y2-x2y1

x2+x1

•

-x1y2-x2y1

x2-x1

=

x22(4-x12)-x12(4-x22)

x22-x12

=4為定值．…（14分）

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，用兩點式求直線的方程、求直線在y軸上的截距，屬于中檔題．