Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x＋mx²(m∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(2)若A，B是函數(shù)f(x)圖像上不同的兩點，且直線AB的斜率恒大于1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

f′(x)＝＋2mx＝.

當m≥0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

當m<0時，由f′(x)＝0得x＝.

當x∈時，f′(x)>0，f(x)在上單調遞增；

當x∈時，f′(x)<0，f(x)在上單調遞減．

綜上所述，當m≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；

當m<0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．

(2)依題意，設A(a，f(a))，B(b，f(b))，不妨設a>b>0，

則k_AB＝>1恒成立，

即f(a)－f(b)>a－b恒成立，

即f(a)－a>f(b)－b恒成立，

令g(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx²－x，

則g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，

所以g′(x)＝＋2mx－1＝≥0對x∈(0，＋∞)恒成立，

所以2mx²－x＋1≥0對x∈(0，＋∞)恒成立，

即2m≥－＋＝－²＋對x∈(0，＋∞)恒成立，因此m≥.

故實數(shù)m的取值范圍為.