Question

已知點F（1，0），直線L：x=-1，動點P到點F的距離等于它到直線L的距離；
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點N（4，2）的直線m，使得直線m被軌跡C截得的弦AB恰好被點N平分．若存在，求直線m的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義，即可得到所求軌跡C的方程；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線m，設直線m與拋物線C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用中點坐標公式，當直線m的斜率不存在時不合題意，設直線m的方程為y-2=k（x-4），聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到x的方程，由韋達定理，得到k的方程，解出k，檢驗即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）∵點P到點F的距離等于它到直線l的距離，
∴點P的軌跡C是以F為焦點、直線l：x=-1為準線的拋物線，
其方程是：y²=4x； 
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線m，
設直線m與拋物線C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
當直線m的斜率不存在時不合題意，設直線m的方程為y-2=k（x-4），
聯(lián)立方程組

y-2=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k²）=0，
∴x₁+x₂=

8k2-4k+4

k2

=8，解得k=1，
當k=1時，方程x²-8x-2=0滿足△＞0，
∴存在直線m，且所求的直線方程是x-y-2=0．

點評：本題考查拋物線的定義和方程，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．