Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²=4x相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）在此拋物線上求一點(diǎn)P，使得P到Q（5，0）的距離最小，并求最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積．
（Ⅱ）P（x，y），則|PQ|=

(x-5)2+y2

=

(x-5)2+4x

=

(x-3)2+16

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：拋物線焦點(diǎn)為（1，0）
設(shè)l：x=ty+1代入y²=4x消去x得
y²-4ty-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則|PQ|=

(x-5)2+y2

=

(x-5)2+4x

=

(x-3)2+16

，
∴x=3時(shí)，P到Q（5，0）的距離最小，
此時(shí)，P(3，±2

3

)，|PQ|_min=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．