已知
，
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）設直線
與
、
均相切，切點分別為（
）、（
），且
，求證：
.
(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ)見解析.
解析試題分析：(Ⅰ)先構造函數
，利用函數的單調性與導數的關系，求得函數的最小值是
，找到關系
；再構造函數
，利用函數的單調性與導數的關系，求得函數的最小值是
，找到關系
.從而證得“”；(Ⅲ)先求出
以及
，根據導數與切線方程的關系，由斜率不變得到
，再根據兩點間的斜率公式得到
.首先由指數函數的性質可得
，那么
，然后由得到
，解得
.
試題解析：（Ⅰ）令，
. 1分
令
，解得
.
當
時，
；當
，時
.
∴當時，，
∴. 3分
令，
. 4分
令，解得
.
當
時，；當
時，.
∴當時，，
∴
， 6分
∴. 7分
（Ⅲ），，切點的坐標分別為
，可得方程組：
11分
∵，
∴
，∴，
∴. 12分
由②得，
，∴
， 13分
∵，∴
，∴
，即，
∴. 14分
考點：1.分類討論思想；2.函數的單調性與導數的關系；3.對數函數的性質；4.指數函數的性質；5.利用導數研究曲線的切線方程
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R．
（Ⅰ）求f(x)的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求證：當a＞ln2－1且x＞0時，ex＞x2－2ax＋1．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l1，在路南側沿直線鋪設線路l2，現要在矩形區(qū)域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區(qū)域內的鋪設水管的總費用為W．
（1）求W關于α的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為5元/本，經銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為
元/本（9≤≤11），預計一年的銷售量為
萬本．
(1)求該出版社一年的利潤
（萬元）與每本書的定價的函數關系式；
(2)當每本書的定價為多少元時，該出版社一年的利潤最大，并求出的最大值
.
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是函數
的一個極值點.
與
的關系式（用
的單調遞增區(qū)間；
,若存在
使得
成立，求實數
，其中
，
．
的最小值為
，試判斷函數
的零點個數，并說明理由；
的取值范圍．
，
的單調區(qū)間；
內的最小值為
，求
的值.（參考數據
）
（
為自然對數的底）
的最小值;
的解集為
，且
,求實數
的取值范圍.
，函數
.
，求曲線
在點
處的切線方程；
無零點，求實數
的取值范圍；
、
，求證：
.