Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-m（x＞0）}\\{-{x}^{2}-2mx（x≤0）}\end{array}\right.$，若函數g（x）=f（x）-m恰有3個零點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，1）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 二次函數y=-x²-2mx最多只能有兩個零點，要使函數g（x）=f（x）-m恰有3個零點，所以y=2^x-m在區(qū)間（0，+∞）必須有一個零點，
 二次函數y=-x²-2mx（x≤0）有2個零點，結合圖象，求出實數m的取值范圍．

解答 解：二次函數y=-x²-2mx最多只能有兩個零點，要使函數g（x）=f（x）-m恰有3個零點，所以y=2^x-m在區(qū)間（0，+∞）必須有一個零點，所以m＞1，
當m＞1時，二次函數y=-x²-2mx與橫軸的負半軸交點有兩個（0，0）和（-2m，0），故原函數有3個零點，綜上，實數m的取值范圍是：（1，+∞）
故選：D．

點評 本題主要考查了函數零點的判定定理，以及分段函數零點的處理方法，同時考查了轉化的思想，屬于基礎題．