Question

已知

a

=（

3

，cosωx），

b

=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函數(shù)f（x）=

a

•

b

，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，則得到y(tǒng)=g（x）的圖象，且函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

1

2

，(

π

6

＜α＜

2

3

π)，求sinα的值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），知g（x）=2sin（ωx+

ω

3

π-

π

6

），由g（x）是偶函數(shù)，得f（x）=2sin（2x-

π

6

），由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（

α

2

）=2sin（2•

α

2

-

π

6

）=2sin（α-

π

6

），f（

α

2

）=

1

2

，得sin（α-

π

6

）=

1

4

，從而cos（α-

π

6

）=

15

4

，由此能求出sinα．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
∴g（x）=f（x+

π

3

）=2sin[ω（x+

π

3

）-

π

6

]=2sin（ωx+

ω

3

π-

π

6

），
又∵g（x）是偶函數(shù)，
∴sin（-ωx+

ω

3

π-

π

6

）=sin（ωx+

ω

3

π-

π

6

），
∴sinωxcos（

ω

3

π-

π

6

）=0對任意x∈R恒成立，
∴

ω

3

π-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，
整理，得ω=2+3k，k∈Z，
又0＜ω＜3，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f（

α

2

）=2sin（2•

α

2

-

π

6

）=2sin（α-

π

6

），
又f（

α

2

）=

1

2

，∴sin（α-

π

6

）=

1

4

，
又

π

6

＜α＜

2

3

π，∴0＜α-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

6

）=

15

4

，
∴sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]
=sin(α-

π

6

)cos

π

6

+cos(α-

π

6

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

．

點評：本題考查函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間的求法，考查sinα的值的求法，是中檔題，解題時要注意向量的數(shù)量積的合理運用．