Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

（x≠0）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅲ）求滿足f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）求出定義域為{x|x≠0且x∈R}，關于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較即可得到奇偶性；
（Ⅱ）運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號、下結論等步驟；
（Ⅲ）討論x＞0，x＜0，求出f（x）的零點，再由單調(diào)性即可解得所求取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：定義域為{x|x≠0且x∈R}，關于原點對稱，
由于f（-x）=-x+

1

x

=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明：任取x1＞x2＞0，f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)＞0，
所以f（x）在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅲ）解：f（x）=0解得x=±1，所以零點為±1，
當x＞0時，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（1）的x的取值范圍為（1，+∞），
又該函數(shù)為奇函數(shù)，所以當x＜0時，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（-1）的x的取值范圍為（-1，0），
綜上：所以x-

1

x

＞0解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．