Question

已知PC為球O的直徑，A，B是球面上兩點，且AB=2，∠APC=∠BPC=

π

4

，若球O的體積為

32π

3

，則棱錐A-PBC的體積為（　�。�

• A、4

  3

• B、

  4 3

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3 2

  2

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：由題意知OP=OC=OA=OB=AB=2，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=

π

4

，∠PAC=∠PBC=

π

2

，AO⊥PC，BO⊥PC，由此能求出棱錐A-PBC的體積．

解答： 解：如圖，由題意知OP=OC=OA=OB=AB=2，
∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=

π

4

，
∠PAC=∠PBC=

π

2

，
AO⊥PC，BO⊥PC，
∴PC⊥平面AOB，
BP=BC=2

2

，
∴S_△PBC=

1

2

×BP×BC=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
取BO中點D，連結AD，則AD⊥BO，
又PC⊥面AOB，AD?平面AOB，∴AD⊥PC，
又BO∩PC=O，∴AD⊥平面BPC，
∵AD=

4-2

=

3

，
∴棱錐A-PBC的體積V=

1

3

×AD×S△PBC=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．
故選：B．

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球的性質的合理運用．