Question

已知函數(shù)f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，當(dāng)f（x）=ax時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先根據(jù)函數(shù)f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，求出y=

f(x)

x

的解析式；然后后把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=a，和y=

f(x)

x

，畫出它們的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，
∴y=

f(x)

x

=

1 x + 1 4 ，x≤1 lnx x ，x＞1

；
又∵函數(shù)y=

f(x)

x

=

lnx

x

，x＞1，
∴y′=

1-lnx

x2

，
令y′=0，得x=e，
當(dāng)x≥e時(shí)，y′≤0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，y′＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在x=e處取極大值，也是最大值，
∴y的最大值為f（e）=e^-1=

1

e

；
畫出函數(shù)y=a，y=

f(x)

x

的圖象如下：
所以當(dāng)f（x）=ax時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
可得a的取值范圍為[

1

4

，

1

e

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了方程的根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化．