已知函數(shù)f(x)=
x
4
+1 (x≤1)
lnx (x>1)
,當(dāng)f(x)=ax時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.
考點(diǎn):根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:首先根據(jù)函數(shù)f(x)=
x
4
+1 (x≤1)
lnx (x>1)
,求出y=
f(x)
x
的解析式;然后后把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=a,和y=
f(x)
x
,畫出它們的圖象,利用數(shù)形結(jié)合即可求出a的取值范圍.
解答: 解:∵f(x)=
x
4
+1 (x≤1)
lnx (x>1)
,
∴y=
f(x)
x
=
1
x
+
1
4
,x≤1
lnx
x
,x>1

又∵函數(shù)y=
f(x)
x
=
lnx
x
,x>1
,
∴y′=
1-lnx
x2

令y′=0,得x=e,
當(dāng)x≥e時(shí),y′≤0,f(x)為減函數(shù),
當(dāng)1<x<e時(shí),y′>0,f(x)為增函數(shù),
∴f(x)在x=e處取極大值,也是最大值,
∴y的最大值為f(e)=e-1=
1
e
;
畫出函數(shù)y=a,y=
f(x)
x
的圖象如下:
所以當(dāng)f(x)=ax時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
可得a的取值范圍為[
1
4
1
e
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了方程的根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷,屬于中檔題,解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合,使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有一位同學(xué)家開了一個(gè)小賣部,他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到了一天所賣的熱飲杯數(shù)(y)與當(dāng)天氣溫(x℃)之間的線性關(guān)系,其回歸方程為
y
=-2.35x+147.77.如果某天氣溫為2℃時(shí),則該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)是(  )
A、140B、143
C、152D、156

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x+
4
x
+1,x>0
-x-
4
x
+1,x<0

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)試用函數(shù)單調(diào)性定義說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2]和[2,+∞)上的增減性;
(3)若x1,x2滿足:1≤|x1|≤4,1≤|x2|≤4,試證明:|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

《國(guó)務(wù)院關(guān)于修改<中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法實(shí)施條例>的決定》已于2008年3月1日起施行,個(gè)人所得稅稅率表如下:
級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率
1不超過500元的部分5%
2超過500至2 000元的部分10%
3超過2 000元至5 000無的部分15%
9超過100 000元的部分45%
注:本表所示全月應(yīng)納稅所得額為每月收入額減去2 000元后的余額.
(1)若某人2008年4月份的收入額為4 200元,求該人本月應(yīng)納稅所得額和應(yīng)納的稅費(fèi);
(2)設(shè)個(gè)人的月收入額為x元,應(yīng)納的稅費(fèi)為y元.當(dāng)0<x≤3 600時(shí),試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-
3
2
n2+
205
2
n,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=
2
5
,且對(duì)任意n∈N*,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(Ⅰ)求證:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)令bn=
2
3
1
an
+5),求數(shù)列{
bn
3n
}前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sinx(cosx+sinx)(x∈R)
(1)求f(
6
)的值;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值及相應(yīng)的x值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解方程:x+
x
x2-1
=2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在[-1,1]上的增函數(shù),y=f(x),f(0)≠0,f(a+b)=f(a)f(b)
(1)求f(0)
(2)求證:對(duì)任意的x∈[-1,1],恒有f(x)≥0;
(3)若f(x)•f(2x-x2)>1,求x的范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案