分析 (Ⅰ)化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),求出它的最小正周期T即可;
(Ⅱ)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增,[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)遞減.
解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=sinx(2$\sqrt{3}$cosx-sinx)+1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin2x+1
=$\sqrt{3}$(2sinxcosx)+(1-2sin2x)
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2($\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x)
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π;
(Ⅱ)令z=2x+$\frac{π}{6}$,
則函數(shù)y=2sinz在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$+2kπ,$\frac{π}{2}$+2kπ],k∈Z上單調(diào)遞增;
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z,
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z,
令A(yù)=[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$],B=[-$\frac{π}{3}$+kπ,$\frac{π}{6}$+kπ],k∈Z,
則A∩B=[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$];
∴當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]時(shí),f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)遞減.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 奇函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn) | B. | y=|x+1|+|x-1|(x∈(-4,4])是偶函數(shù) | ||
C. | 冪函數(shù)y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$過(guò)(1,1)點(diǎn) | D. | y=sin2x(x∈[0,5π])是以π為周期的函數(shù) |
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A. | $\frac{5}{9}$ | B. | ±$\frac{5}{9}$ | C. | -$\frac{5}{9}$ | D. | 0 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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