18.已知函數(shù)f(x)=sinx(2$\sqrt{3}$cosx-sinx)+1
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)討論f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)性.

分析 (Ⅰ)化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),求出它的最小正周期T即可;
(Ⅱ)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增,[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)遞減.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=sinx(2$\sqrt{3}$cosx-sinx)+1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin2x+1
=$\sqrt{3}$(2sinxcosx)+(1-2sin2x)
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2($\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x)
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π;
(Ⅱ)令z=2x+$\frac{π}{6}$,
則函數(shù)y=2sinz在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$+2kπ,$\frac{π}{2}$+2kπ],k∈Z上單調(diào)遞增;
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z,
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z,
令A(yù)=[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$],B=[-$\frac{π}{3}$+kπ,$\frac{π}{6}$+kπ],k∈Z,
則A∩B=[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$];
∴當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]時(shí),f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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8.下列說(shuō)法中正確的是( 。
A.奇函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn)B.y=|x+1|+|x-1|(x∈(-4,4])是偶函數(shù)
C.冪函數(shù)y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$過(guò)(1,1)點(diǎn)D.y=sin2x(x∈[0,5π])是以π為周期的函數(shù)

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9.在區(qū)間D上,如果函數(shù)f(x)為減函數(shù),而xf(x)為增函數(shù),則稱f(x)為D上的弱減函數(shù).若f(x)=$\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$
(1)判斷f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是否為弱減函數(shù);
(2)當(dāng)x∈[1,3]時(shí),不等式$\frac{a}{x}≤\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}≤\frac{a+4}{2x}$恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+k|x|-1在[0,3]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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6.已知sinα+cosα=$\frac{2}{3}$,則sin2α的值為(  )
A.$\frac{5}{9}$B.±$\frac{5}{9}$C.-$\frac{5}{9}$D.0

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13.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=6,則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值為-1

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3.函數(shù)f(x)=log2x-$\frac{1}{x-1}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。
A.0B.1C.2D.3

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10.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),對(duì)稱軸為x=2,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-4x+3.

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7.已知a=40.5,b=0.54,c=log0.54,則a,b,c從小到大的排列為c<b<a.

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15.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,a3=5,且(a1x+d)5的展開(kāi)式中x2與x3的系數(shù)之比為2:1.
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(2)設(shè)[a1x2-(a3-a1)x+a3]n=b0+b1(x-2)+b2(x-2)2+…+b2n(x-2)2n,n∈N*,求a1b1+a2b2+…+a2nb2n的值;
(3)當(dāng)n≥2時(shí),求證:$({a}_{n+1})^{{a}_{n+1}}$>11×16n+8n4

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