已知數(shù)列an，bn，滿足a1=2，2an=1+2anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（I）求證數(shù)列數(shù)學(xué)公式是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（II）令Cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和，求證：Sn＜1．

解：（1）由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，
得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
∴bnbn+1+bn+1-bn=0，從而有 ，
∵b1=a1-1=2-1=1，
∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴，即 ；
∴an=，

（2）由題意可知：Cn=bnbn+1=，
∴Sn=Cn+Cn+Cn+…+Cn=1-
=1-＜1．
即Sn＜1．
分析：（1）將bn=an-1代入2an=1+anan+1，可得bn的遞推關(guān)系式，整理變形可得 ，由等差數(shù)列的定義可得 為等差數(shù)列，故可求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出an．
（2）根據(jù)（1）知Cn=bnbn+1=，利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列 {Cn}的前n項(xiàng)的和，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：此題是個(gè)中檔題．本題主要考查了等比差數(shù)列的定義、裂項(xiàng)法求和問題，和不等式與數(shù)列的綜合．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an，bn，xn滿足a1=b1=2，an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，xn=
an
bn
．
（1）填空：當(dāng)n≥2時(shí)，xn
 
1．（填＞，=，＜中一個(gè)）
（2）求證：xn+1與xn中一個(gè)比
5
大，另一個(gè)比
5
小，并指出xn+1與xn中哪一個(gè)更接近于
5
．
（3）若數(shù)列{|xn-
5
|}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜
5
+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an、bn中，對任何正整數(shù)n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若數(shù)列an是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列bn是等比數(shù)列，數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是請求出通項(xiàng)公式，若不是請說明理由；
（3）若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，求證：
n
i=1
1
aibi
＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an和bn滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）試判斷數(shù)列an是否可能為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)a＞0，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，如果對于任意正整數(shù)n，總存在實(shí)數(shù)λ，使得不等式a＜Sn＜a+1成立，求正數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an，bn，cn滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
（1）設(shè)cn=3n+6，an是公差為3的等差數(shù)列．當(dāng)b1=1時(shí)，求b2，b3的值；
（2）設(shè)cn=n3，an=n2-8n求正整數(shù)k，使得一切n∈N*均有bn≥bk．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an，bn，滿足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（I）求證數(shù)列{
1bn
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（II）令Cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和，求證：Sn＜1．

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