Question

    已知函數(shù)，

   （Ⅰ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

   （Ⅱ）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

   （III）當(dāng) 時，證明：

Answer 1

解：（Ⅰ）在上恒成立，     … 2分

     設(shè) ，令                               … 3分

得   得 .                                        … 4分

   （Ⅱ）（）， .

①     當(dāng)時，

因，故在上單調(diào)遞減，

，（舍去）.                      … 5分

②      當(dāng)時，即時，

因在上，；在上，.

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，，滿足條件.                … 7分

③     當(dāng)時，即時，

因，故在上單調(diào)遞減，

，（舍去）.                      … 8分

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時有最小值. 

（III）令，由（Ⅱ）知，.                 … 9分

令，，                         … 10分

當(dāng)時，因，故在上單調(diào)遞增.       … 11分

∴                          … 12分

  即              … 13分