Question

已知m∈R，命題p：對(duì)于任意x∈[0，8]，不等式log 

1

3

（x+1）≥m²-3恒成立；命題q：對(duì)任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-

π

4

）|恒成立．
（1）若p為真命題，求m的取值范圍；
（2）若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：先將命題p，q為真時(shí)的m的范圍為求出來(lái)，然后再進(jìn)一步求解即可．

解答： 解：（1）對(duì)于任意x∈[0，8]，不等式log 

1

3

（x+1）≥m²-3恒成立，
令f（x）=log 

1

3

（x+1），x∈[0，8]．顯然該函數(shù)是減函數(shù)，所以f（x）_min=f（8）=-2．
所以要使原式成立，只需m²-3≤-2，即m²-3+2≤0，解得1≤m≤2．
（2）對(duì)于q，因?yàn)?+sin2x-cos2x=2sinxcosx+2sin²x=2sinx（cosx+sinx）=2sinx•

2

cos(x-

π

4

)．
當(dāng)cos(x-

π

4

)=0時(shí)，原式顯然成立．
當(dāng)cos(x-

π

4

)≠0時(shí)，原式可化為m≥

2

|sinx|．
要使原式恒成立，只需m≥

2

即可．
因?yàn)椤皃且q為假，p或q為真”，故p，q一真一假，
所以

1≤m≤2 m＜ 2

或

m＜1或m＞2 m≥ 2

，解得m＞2或1≤m＜

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題真假的判斷方法，要注意“或命題”“且命題”的區(qū)別與聯(lián)系．