Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項(xiàng)和，并且S _n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1
（1）設(shè)b_n=a _n+1-2a_n （n=1，2，…），求證{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=

a n

2 n

（n=1，2，…），求證{c_n}時(shí)等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，兩式相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1，結(jié)合b_n=a_n+1-2a_n代入

bn

bn-1

化簡，
并由條件求出b₁，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=3•2n-1，即a_n+1-2a_n=3•2^n-1，兩邊同除以2ⁿ⁺¹化簡后，由等差數(shù)列的定義證明結(jié)論；
（3）由（2）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出c_n，再由c_n=

a n

2 n

求出a_n，再代入當(dāng)n≥2時(shí)S_n=4a_n-1+2化簡，最后驗(yàn)證n=1也成立．

解答： 證明：（1）由題意得，S_n+1=4a_n+2，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，
兩式相減得，a_n+1=4a_n-4a_n-1，
又b_n=a_n+1-2a_n，
所以

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

4an-4an-1-2an

an-2an-1

=2，
由a₁=1，S₂=4a₁+2得，a₂=5，
所以b₁=a₂-2a₁=3，
則{b_n}是公比為2、首項(xiàng)為3的等比數(shù)列；
（2）由（1）得，bn=3•2n-1，
所以a_n+1-2a_n=3•2^n-1，兩邊同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
又c_n=

a n

2 n

，則c₁=

a1

2

=

1

2

，
所以{c_n}是公差為

3

4

、首項(xiàng)為

1

2

的等差數(shù)列；
解：（3）由（2）得，c_n=

1

2

+(n-1)×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
因?yàn)閏_n=

a n

2 n

，所以an=(

3

4

n-

1

4

)•2n=（3n-1）•2^n-2，
因?yàn)镾_n+1=4a_n+2，所以當(dāng)n≥2時(shí)S_n=4a_n-1+2，
則S_n=（3n-4）•2^n-1+2，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1也適合上式，故S_n=（3n-4）•2^n-1+2．

點(diǎn)評：本題考查利用定義法證明等差、等比數(shù)列，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及由數(shù)列S_n和a_n的關(guān)系式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．