Question

已知在四面體ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)EF任作α，求證：它把三棱錐體積分成相等的兩部分．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分類證明，先證明特殊，：（1）當(dāng)過(guò)EF的平面α，為平面ABF時(shí)，（2）當(dāng)過(guò)EF的平面α，為平面ECD時(shí)，根據(jù)等底等高證明，（3）把幾何體分解：V_AEGCDH=V_A-EGFH+V_A-CGF，V_BEGFHD=V_B-EGFH+V_B-EHF，轉(zhuǎn)化為等底等高證明．

解答： 證明：（1）當(dāng)過(guò)EF的平面α，為平面ABF時(shí)，
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴V_C-ABF=V_D-ABF，
∴它把三棱錐體積分成相等的兩部分
（2）當(dāng)過(guò)EF的平面α，為平面ECD時(shí)，
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴V_A-ECD=V_B-ECD，
∴它把三棱錐體積分成相等的兩部分
（3）當(dāng)過(guò)EF的平面α，分別取AC、BD的中點(diǎn)M、N，
則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，
且AD與BC到平面MENF的距離相等，
因此對(duì)于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．

V_AEGCDH=V_A-EGFH+V_A-CGF，
V_BEGFHD=V_B-EGFH+V_B-EHF
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴V_A-EGFH=V_B-EGFH，
V_A-CGF=V_B-EHF
∴V_AEGCDH=V_BEGFHD
它把三棱錐體積分成相等的兩部分
綜上所述：E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)EF任作α，它把三棱錐體積分成相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．