Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1，P是圓x²+y²=16上任意一點(diǎn)，過(guò)P作橢圓的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，則

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用橢圓的一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程：

x0x

4

+y0y=1，求出直線PA，PB的方程，進(jìn)而得到AB的方程為

mx

4

+ny=1．代入橢圓方程，利用數(shù)量積公式，以及韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合P是圓x²+y²=16上任意一點(diǎn)，即可求

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：設(shè)P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則對(duì)

x2

4

+y2=1兩邊求導(dǎo)，得，

x

2

+2yy′=0，
則過(guò)切點(diǎn)A的斜率為-

x1

4y1

，切線方程為：y-y₁=-

x1

4y1

（x-x₁），
又x₁²+4y₁²=4，化簡(jiǎn)即得PA：

x1x

4

+y1y=1，
同理可得，PB：

x2x

4

+y₂y=1，
∵過(guò)P點(diǎn)作橢圓的切線PA，PB，
∴直線AB的方程為

mx

4

+ny=1．
代入橢圓方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=

8m

4n2+m2

，x₁x₂=

16-16n2

4n2+m2

，
∴

PA

•

PB

=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+

(4-mx1)(4-mx2)

16n2

-

8-m(x1+x2)

4

+n²
=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6，
∵m²+n²=16，
∴

PA

•

PB

=11-

44

3n2+16

，
則當(dāng)n=0，m=±4時(shí)，即P（±4，0），

PA

•

PB

有最小值

33

4

．
故答案為：

33

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的方程及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理解題，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力、運(yùn)算技巧、邏輯推理能力，屬于中檔題．