Question

如圖所示，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，過F作斜率為1的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，且|OB|=2|OA|，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  10

  3

• B、

  10

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)左焦點(diǎn)為（-c，0），直線AB：y=x+c，求出雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再由
|OB|=2|OA|，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到，注意a＜b．

解答： 解：設(shè)左焦點(diǎn)為（-c，0），直線AB：y=x+c，
雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±

b

a

x，
由直線AB和漸近線方程可得交點(diǎn)A（

ac

-b-a

，

bc

b+a

），B（

ac

b-a

，

bc

b-a

）（a＜b），
由|OB|=2|OA|，可得|OB|²=4|OA|²，
即有（

ac

b-a

）²+（

bc

b-a

）²=4[（

ac

-b-a

）²+（

bc

b+a

）²]，
化簡得4（b-a）²=（b+a）²，
即有3a²-10ab+3b²=0，
即有a=3b（舍去）或b=3a，
則c=

a2+b2

=

10

a，
e=

c

a

=

10

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查兩直線的交點(diǎn)問題，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．