Question

【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn)。

(1)求直線AF與EC所成角的正弦值；

(2)求PE與平面PDB所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 作FM∥CD交PC于M,得出AF∥EM，∠MEC為直線AF與EC所成角或其補(bǔ)角,在直角三角形中即可得解.

(2) 運(yùn)用直線平面所成角的定義得出夾角，轉(zhuǎn)化為直角三角形中求解即可．

(1)作FM∥CD交PC于M.

∵點(diǎn)F為PD中點(diǎn),∴FM=CD.

∴AE=AB=FM，

∴AEMF為平行四邊形,∴AF∥EM，

∠MEC為直線AF與EC所成角或其補(bǔ)角。

EM=AF=，MC=，EC=，∴ΔMEC為RtΔMEC

sin∠MEC=

(2)連接AC，BD交于O，連接EG

∵點(diǎn)E，O分別為AB和AC中點(diǎn)。

∴AO∥EG，

∵AC⊥平面PBD，

∴EG⊥平面PBD，

根據(jù)直線與平面所成角的定義可得：∠EPG為PE與平面PDB所成角，

Rt△EGP中,AO=，EG=，

DE=，PE=，

∴sin∠EPG=