Question

已知f（x）=|x-1|-lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調區(qū)間及f（x）的最小值；
（3）根據（2）的結論推出當x＞1時：

lnx

x

與1-

1

x

的大小關系，并由此比較

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

與

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

(n∈N*且n≥2)的大小，且證明你的結論．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，根據導數的幾何意義即可求曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數的導數根據函數單調性和最值與導數之間的關系即可求f（x）的單調區(qū)間及f（x）的最小值；
（3）利用放縮法即可證明不等式．

解答： 解：（1）當x≥1時，f（x）=x-1-lnx．
則f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴在x=2處的切線斜率為k=f′(2)=

1

2

，
而f（2）=1-ln2，
∴在點P（2，f（2））處的切線方程為：y-1+ln2=

1

2

(x-2)，
整理得x-2y-2ln2=0為所求的切線方程．
（2）f（x）=|x-1|-lnx，定義域為（0，+∞），
當x≥1時，f(x)=x-1-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的．
當0＜x＜1時，f(x)=1-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0．
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減的．
∴f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
因此f（x）_min=f（1）=0．
（3）由（2）可知，當x＞1時，有x-1-lnx＞0，即

lnx

x

＜1-

1

x

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜n-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]
=n-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=n-1-(

1

2

-

1

n+1

)=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

．
故

ln22

22

+

ln32

32

+…+

ln22

22

＜

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

，n∈N*，n≥2．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，以及導數的幾何意義，以及導數和不等式的關系，綜合性較強運算量較大．