Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx

x

，下列命題正確的是

 

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）
①f（x）是奇函數(shù)；    
②對(duì)定義域內(nèi)任意x，f（x）＜1恒成立；
③當(dāng)x=

3

2

π時(shí)，f（x）取得極小值； 
④f（2）＞f（3）； 
⑤當(dāng)x＞0時(shí)，若方程|f（x）|=k有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解α，β（α＞β），則β•cosα=-sinβ．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)的有界性即可判斷②；
③求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不是0，即可判斷；
④利用函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)函數(shù)值，可判斷，
⑤根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷．

解答： 解：①函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，則f（-x）=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x），即f（x）偶函數(shù)；故①錯(cuò)誤．
②由①知，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則只需判斷當(dāng)x＞0時(shí)，條件是否滿足即可．
當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，sinx＜x，此時(shí)

sinx

x

＜1成立，
當(dāng)x∈[

π

2

，+∞)sinx≤1＜x，∴

sinx

x

＜1成立，
∴對(duì)定義域內(nèi)任意x，f（x）＜1恒成立，故②成立；
③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
當(dāng)x=

3

2

π時(shí)，f′（

3

2

π）=

1

( 3π 2 )2

≠0，∴f（x）取得極小值錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤； 
④∵

π

2

＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴

sin2

2

＞

sin3

3

，
即f（2）＞f（3），∴④正確．
⑤當(dāng)x＞0時(shí)，若方程|f（x）|=k有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解α，β（α＞β），
∴k＞0，
∵x＞0時(shí)，y=sinx為周期函數(shù)，y=x為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，π）的最大值大于f（x）在（π，2π）的最大值大于f（x）在（2π，3π）的最大值…
∵α＞β，
∴α必為y=f（x）在（π，2π）取最大值時(shí)x的值，
π＜x＜2π時(shí)，y=|f（x）|=-

sinx

x

，y′=-

xcosx-sinx

x2

，
則f′（α）=0，
則αcosα-sinα=0，即cosα=

sinα

α

，
所以，f（α）=-

sinα

α

=-cosα=k
α，β為方程f（x）=k在（0，π）的根
∴

sinβ

β

=k=-cosα，
即：βcosα=-sinβ，故⑤正確．
故答案為：②④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的奇偶性，值域，極值，單調(diào)性是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．