Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，求下列各條件下實(shí)數(shù)m的取值范圍：
（1）x₁＜x₂＜5；
（2）x₁＜1，x₂＞3；
（3）0＜x₁＜1＜x₂＜5．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）方程兩根不相等，均小于5，由根的差別式、韋達(dá)定理得到相應(yīng)關(guān)系式，解關(guān)系式，得本題結(jié)論；（2）方程兩根在兩數(shù)之外，可以利用圖象特征，得到相應(yīng)關(guān)系式，解關(guān)系式，得本題結(jié)論；（3）方程兩根分別在兩個(gè)區(qū)間，可利用圖象特征，得到相應(yīng)關(guān)系式，解關(guān)系式，得本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，滿足x₁＜x₂＜5，
∴△=[2（m+3）]²-4（2m+14）＞0，
（x₁-5）+（x₂-5）＜0，
（x₁-5）（x₂-5）＞0．
∵x₁+x₂=-2（m+3），
x₁x₂=2m+14，
∴

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是方程根的分布、根的差別式、韋達(dá)定理，還考查了二次函數(shù)的圖象和分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一難度，屬于中檔題．