Question

【題目】已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對其化驗病毒DNA來確定是否感染．下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染為止．方案乙：將6只分為兩組，每組三個，并將它們混合在一起化驗，若存在病毒DNA，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個化驗，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒DNA，則在另外一組中逐個進(jìn)行化驗．
（1）求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率．
（2）首次化驗化驗費為10元，第二次化驗化驗費為8元，第三次及其以后每次化驗費都是6元，列出方案甲所需化驗費用的分布列，并估計用方案甲平均需要化驗費多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：方案乙中所需化驗次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況：

第一種，先化驗一組，結(jié)果不含病毒DNA，再從另一組任取一個樣品進(jìn)行化驗，

則恰含有病毒的概率為 × = ．

第二種，先化驗一組，結(jié)果含有病毒DNA，再從中逐個化驗，

恰第一個樣品含有病毒的概率為 × = ．

∴依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率為 =

（2）解：設(shè)方案甲化驗的次數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，4，5，對應(yīng)的化驗費為η元，

P（ξ=1）=P（η=10）= ，

P（ξ=2）=P（η=18）= × = ，

P（ξ=3）=P（η=24）= × = ，

P（ξ=4）=P（η=30）= = ，

P（ξ=5）=P（η=36）= = ，

∴方案甲所需化驗費用η的分布列為：

η	10	18	24	30	36
P

用方案甲平均需要化驗費E（η）= + +24× +30× +36× = （元）

【解析】（1）方案乙中所需化驗次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況：第一種，先化驗一組，結(jié)果不含病毒DNA，再從另一組任取一個樣品進(jìn)行化驗，可得恰含有病毒的概率為 × ．第二種，先化驗一組，結(jié)果含有病毒DNA，再從中逐個化驗，恰第一個樣品含有病毒的概率為 × ．利用互斥事件的概率計算公式即可得出．（2）設(shè)方案甲化驗的次數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，4，5，對應(yīng)的化驗費為η元，利用相互獨立事件的概率計算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．