用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果容器底面的長比寬多0.5 m,那么長和寬分別為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積.

解:設(shè)容器底面長方形寬為x m,則長為(x+0.5) m,依題意,容器高為［14.8-4x-4(x+0.5)］=3.2-2x.顯然0＜x＜1.6,即x的取值范圍為(0,1.6).

記容器的容積為y m3,則y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,x∈(0,1.6),

求導得y′=-6x2+4.4x+1.6,令y′＞0,解得0＜x＜1,令y′＜0,得1＜x＜1.6.

所以,當x=1時,y取得最大值1.8,這時容器的長為1+0.5=1.5.

答:容器的底面長為1.5 m,寬為1 m時,容器容積最大,最大容積為1.8 m3.

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