Question

【題目】已知二次函數(shù).

（1）若是的兩個(gè)不同的根，是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

（2）設(shè)，函數(shù)已知方程恰有3個(gè)不同的根.

（ⅰ）求的取值范圍；

（ⅱ）設(shè)分別是這3個(gè)根中的最小值與最大值，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見詳解；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

（1）由韋達(dá)定理，可得的取值；由，進(jìn)行取舍；

（2）（ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，把有3個(gè)根，轉(zhuǎn)化為與直線有三個(gè)交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合處理；

（ii）分別解得和，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求其最大值.

（1）依題意可知，.假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的根，

所以，解得.

由韋達(dá)定理得，

所以，

解得，而，故不存在.

（2）因?yàn)?/span>，設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

（ⅰ）作出的圖象，如圖所示，所以.

（ⅱ）設(shè)直線與此圖象的最左邊和最右邊的交點(diǎn)分別為.

由，得；

由，得，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.

故的最大值為.