Question

已知函數f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）為奇函數，且相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）當x∈（-

π

2

，

π

4

）時，求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）將函數y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移

π

6

個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的

1

2

（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象．當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，求函數g（x）的值域．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡函數的解析式為f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），由周期求得ω=2．再根據f（x）為奇函數，求得φ=

π

6

，可得f（x）=2sin2x，結合正弦函數的單調性求得f（x）在區(qū)間（-

π

2

，

π

4

）上的減區(qū)間．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=2sin（4x-

π

3

），再根據x∈[-

π

12

，

π

6

]時，利用正弦函數的定義域和值域求得g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
且相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，可得 T=2×

π

2

=

2π

ω

，求得ω=2．
再根據f（x）為奇函數，可得φ-

π

6

=kπ，k∈z，即φ=kπ+

π

6

，故可取φ=

π

6

，故f（x）=2sin2x．
令2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，可得f（x）的減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈z．
再結合x∈（-

π

2

，

π

4

），可得減區(qū)間為[-

π

2

，-

π

4

]．
（2）將函數y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移

π

6

個單位長度，可得函數y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）的圖象；
再把橫坐標縮短到原來的

1

2

（縱坐標不變），得到函數y=g（x）=2sin（4x-

π

3

）的圖象，
當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，4x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，∴g（x）∈[-2，

3

]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的單調性、定義域和值域，屬于基礎題．