【題目】定義：對(duì)棱相等的四面體為等腰四面體.

（1）若等腰四面體的每條棱長(zhǎng)都是，求該等腰四面體的體積；

（2）求證：等腰四面體每個(gè)面的三角形均為銳角三角形：

（3）設(shè)等腰四面體的三個(gè)側(cè)面與底面所成的角分別為，請(qǐng)判斷是否為定值？如果是定值，請(qǐng)求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）是定值；定值為1

【解析】

由條件，四面體的對(duì)棱相等，則可以將四面體放到長(zhǎng)方體中去.

（1）當(dāng)?shù)妊拿骟w的每條棱長(zhǎng)都是時(shí)，長(zhǎng)方體是正方體,且正方體的棱長(zhǎng)為，該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個(gè)角上的4個(gè)全等的小三棱錐的體積，則可求出答案.
（2）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,在該四面體的每個(gè)面中，任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方,從而可證.
（3）過(guò)作平面交平面于點(diǎn),為面與底面所成的角, ,根據(jù)題意設(shè)，面與底面所成的角分別為，同理可得：，又≌≌≌,從而可得答案.

由條件，四面體的對(duì)棱相等，則可以將四面體放到長(zhǎng)方體中去,如圖.

(1)當(dāng)?shù)妊拿骟w的每條棱長(zhǎng)都是時(shí)，長(zhǎng)方體是正方體,且正方體的棱長(zhǎng)為.

此時(shí)該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個(gè)角上的4個(gè)全等的小三棱錐的體積.

所以.

(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為.

則，，.

在面中，

所以為銳角.

同理：在該四面體的每個(gè)面中，任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方.

根據(jù)余弦定理可得，每個(gè)面中的三角形均為銳角三角形.

所以等腰四面體每個(gè)面的三角形均為銳角三角形.

(3) 的值為定值1.

過(guò)作平面交平面于點(diǎn),則

過(guò)作交于,所以平面,則.

所以為面與底面所成的角,設(shè)

設(shè)面與底面所成的角分別為.

同理可得：

又≌≌≌

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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駕駛行為類型

閥值

飲酒后駕車

，

醉酒后駕車

車輛駕車人員血液酒精含量閥值

喝1瓶啤酒的情況

A. B. C. D.

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分組

頻數(shù)

頻率

合計(jì)

（1）求，；

（2）根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鋼管內(nèi)徑尺寸大于等于或小于為不合格，鋼管內(nèi)徑尺寸在或為合格，鋼管內(nèi)徑尺寸在為優(yōu)等.鋼管的檢測(cè)費(fèi)用為元/根，把樣本的頻率分布作為這批鋼管的概率分布.

（i）若從這批鋼管中隨機(jī)抽取根，求內(nèi)徑尺寸為優(yōu)等鋼管根數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ii）已知這批鋼管共有根，若有兩種銷售方案：

第一種方案：不再對(duì)該批剩余鋼管進(jìn)行檢測(cè)，扣除根樣品中的不合格鋼管后，其余所有鋼管均以元/根售出；

第二種方案：對(duì)該批鋼管進(jìn)行一一檢測(cè)，不合格鋼管不銷售，并且每根不合格鋼管損失元，合格等級(jí)的鋼管元/根，優(yōu)等鋼管元/根.

請(qǐng)你為該企業(yè)選擇最好的銷售方案，并說(shuō)明理由.

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所用時(shí)間

10

11

12

13

通過(guò)公路1的頻數(shù)

20

40

20

20

通過(guò)公路2的頻數(shù)

10

40

40

10

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C.D.

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