Question

在△ABC中，tanA=

2

5

，tanB=

3

7

，且最長(zhǎng)邊為

2

，求
（1）∠C的大小；
（2）最短的邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式得：tanC=-tan（A+B），利用兩角和的正弦公式求出tanC，根據(jù)內(nèi)角的范圍求出C的值；
（2）由正切值和C的大小確定出最長(zhǎng)邊和最短邊，由同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA，由正弦定理求出最短邊．

解答： 解：（1）由A+B+C=π得，C=π-（A+B），且tanA=

2

5

，tanB=

3

7

，
所以tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

2 5 + 3 7

1- 2 5 × 3 7

=-

14+15

35-6

=-1，
因?yàn)?＜C＜π，所以C=

3π

4

；
（2）因?yàn)镃=

3π

4

，且

3

7

＞

2

5

，所以A是最小角，則c是最長(zhǎng)邊、a是最短邊，
由tanA=

2

5

得，

sinA sinB = 2 5 sin2A+sin2B=1

，解得sinA=

2 29

29

，
由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

，則a=

2 × 2 29 29

3 2

=

4 174

87

，
所以最短的邊長(zhǎng)是

4 174

87

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及正弦定理，注意三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于中檔題．