Question

函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3，若函數(shù)g（x）=f（x）-m，在x∈[-2，5]上有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（　　）

• A、[1，8]
• B、（-24，1]
• C、[1，8）
• D、（-24，8）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），列出表格即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值，再畫出函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象，即可得出m的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=3x²-6x-9=3（x²-2x-3）=3（x-3）（x+1），令f′（x）=0，解得x=-2或3．
其單調(diào)性如表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，5]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

可知：當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（3）=3³-3×3²-9×3+3=-24，
又f-2）=（-2）³-3×（-2）²-9×（-2）+3=1，可知最小值為f（3），即-24．
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=（-1）³-3×（-1）²-9×（-1）+3=8，
又f（5）=5³-3×5²-9×5+3=8，可知函數(shù)f（x）的最大值為f（5）或f（-1），即為8．
畫出圖象y=f（x）與y=m．
由圖象可知：當(dāng)m∈（1，8）時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象由三個(gè)交點(diǎn)．因此當(dāng)m∈（1，8）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3個(gè)零點(diǎn)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其圖象、方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．