Question

下列說法正確的有

 

．
①函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1）；
②若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x²-1}，則A∩B={（0，-1），（1，0）}；
③若函數(shù)f（x）在（-∞，0），[0，+∞）都是單調(diào)增函數(shù)，則f（x）在（-∞，+∞）上也是增函數(shù)；
④函數(shù)y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

是偶函數(shù)．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：求出原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間判斷①；分別求解兩個函數(shù)的值域取交集判斷②；
由分段函數(shù)的單調(diào)性判斷③；求出原函數(shù)的定義域，化簡后直接由偶函數(shù)的定義判斷④．

解答： 解：①由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
內(nèi)函數(shù)t=x²-2x-3在（-∞，-1）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1）．命題①錯誤；
②由A={y|y=x-1}=R，B={y|y=x²-1}={y|y≥-1}，
∴A∩B={y|y≥-1}．命題②錯誤；
③若函數(shù)f（x）在（-∞，0），[0，+∞）都是單調(diào)增函數(shù)，f（x）在（-∞，+∞）上不一定是增函數(shù)．
命題③錯誤；
④由

1-x2≥0 |x+1|+|x-2|≠0

，得-1≤x≤1．
∴函數(shù)y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

=

1-x2

x+1-x+2

=

1-x2

3

由f(-x)=

1-(-x)2

3

=

1-x2

3

=f(x)．
∴函數(shù)y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

是偶函數(shù)．命題④正確．
∴正確的命題是④．
故答案為：④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)，解答此題的關鍵是對分段函數(shù)單調(diào)性的理解，是中檔題．