Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（1）若函數(shù)f（x）在x=-1時(shí)取到極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，在曲線y=f（x）上是否存在這樣的兩點(diǎn)A，B，使得在點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得 f′（x）=3ax²-6x（a≠0），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，由此利用分類(lèi)討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足要求的兩點(diǎn)A，B，即在點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，由此能求出當(dāng)3≤a≤4時(shí)，存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)A、B．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

，∴f′（x）=3ax²-6x（a≠0）
∵函數(shù)f（x）在x=-1時(shí)取到極值，
∴f′（-1）=3a+6=0，解得a=-2，
經(jīng)檢驗(yàn)a=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在x=-1時(shí)取到極小值，
∴實(shí)數(shù)a的值為-2．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
①當(dāng)a＜0時(shí)，

2

a

＜0，由f′（x）＞0，得

2

a

＜x＜0，
由f′（x）＜0，得x＜

2

a

或x＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

2

a

，0），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，

2

a

），（0，+∞）．
②當(dāng)a＞0時(shí)，

2

a

＞0，同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

2

a

），（0，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（

2

a

，0）．
（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足要求的兩點(diǎn)A，B，
即在點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，
則k_A=k_B=0，即f′（x）=3ax²-6x=0，解得x=0或x=

2

a

，
∴A（0，1-

3

a

），B（

2

a

，-

4

a2

+1-

3

a

），
又線段AB與x軸有公共點(diǎn)，∴y_Ay_B≤0，
即（10，

3

a

）（-

4

a2

+1-

3

a

）≤0，又a＞1，解得3≤a≤4，
所以當(dāng)3≤a≤4時(shí)，存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)A、B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．