已知奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1處取得極大值2.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)對于區(qū)間[-2,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求實(shí)數(shù)c的最小值;
(3)過點(diǎn)M(2,m)(m≠2)可作y=-f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由奇函數(shù)得到b=0,求出導(dǎo)數(shù),令f′(1)=0,f(1)=2,求出a,c的值,即可得到解析式;
(2)區(qū)間[-2,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c即為c≥f(x)max-f(x)min,求出區(qū)間[-2,2]上的最值,即可;
(3)點(diǎn)M(2,m)(m≠2)不在曲線y=-f(x)上,設(shè)切點(diǎn)(x0,x03-3x0),切線斜率為3x02-3,則有3x02-3=
x03-3x0-m
x0-2
,2x03-6x02+6+m=0關(guān)于x0有三個不同的解,令h(x)=2x3-6x2+6+m,求出導(dǎo)數(shù),以及極值,令極大值大于0,極小值小于0,解不等式即可.
解答: 解:(1)∵奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0),
∴b=0,
∴f′(x)=3ax2+c,
∵f(x)在x=1處取得極大值2,
∴f′(1)=0,f(1)=2,即3a+c=0,a+c=2,
∴a=-1,c=3.
∴f(x)=3x-x3
(2)區(qū)間[-2,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c等價為
c≥f(x)max-f(x)min
由(1)得,f′(x)=3-3x2,f′(x)=0,x=±1.
∵f(-1)=-2,f(1)=2,f(-2)=2,f(2)=-2,
∴y=f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為2,最小值為-2.
∴c≥4,c的最小值為4.
(3)點(diǎn)M(2,m)(m≠2)不在曲線y=-f(x)上,
設(shè)切點(diǎn)(x0,x03-3x0),切線斜率為3x02-3,則有
3x02-3=
x03-3x0-m
x0-2
,2x03-6x02+6+m=0關(guān)于x0有三個不同的解,
令h(x)=2x3-6x2+6+m,h′(x)=6x2-12x,
∴h(x)在(-∞,0),(2,+∞)上遞增,在(0,2)上遞減,
∴只要h(0)=6+m>0,且h(2)=-2+m<0,
∴-6<m<2.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-6,2).
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值,考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,考查構(gòu)造函數(shù)的思想,求極值,是一道綜合題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),對一切實(shí)數(shù)x都滿足f(
1
2
+x)=f(
1
2
-x),且f(x)=0有3個實(shí)數(shù)根,則這3個實(shí)根之和為( 。
A、3
B、
9
2
C、2
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1-
3
a

(1)若函數(shù)f(x)在x=-1時取到極值,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)a>1時,在曲線y=f(x)上是否存在這樣的兩點(diǎn)A,B,使得在點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直,且線段AB與x軸有公共點(diǎn),若存在,試求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加,城市的空氣污染越來越嚴(yán)重,空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下,對人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴(yán)重的影響.現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康,得到2×2列聯(lián)表如下:
室外工作室內(nèi)工作合計
有呼吸系統(tǒng)疾病150
無呼吸系統(tǒng)疾病100
合計200
補(bǔ)全2×2列聯(lián)表,你是否認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場所有關(guān).
參考公式:X2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2

P(X2≥k)    0.050      0.010
k    3.841      6.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=-
5
12
,求sinα和cosα的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

P為橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上任意一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為左右焦點(diǎn).如圖所示:
(1)若PF1的中點(diǎn)為M,求證:|MO|=5-
1
2
|PF1|
(2)若∠F1PF2=60°,求|PF1|•|PF2|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x3+ax2+bx+1.(a,b∈R)
(Ⅰ)若f(x)在x=-1處有極值1,求b的值;
(Ⅱ)若a=
3
2
時,f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增,求b的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+lnx+(a-4)x在(1,+∞)上是增函數(shù).
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=e2x-2aex+a,x∈[0,ln3],求函數(shù)g(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在極坐標(biāo)系Ox中,已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
與曲線C2;ρ=1相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長度.

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同步練習(xí)冊答案