Question

函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點x₀處取得極小值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0），（2，0），如圖所示，求：
（1）x₀的值；
（2）a，b，c的值；
（3）f（x）的極大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x₀的值；
（2）根據(jù)圖象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（2）=5，建立三個方程，聯(lián)立方程組求解即可；
（3）由（1）知函數(shù)在x=1處取得極大值．

解答： 解：（1）由圖象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減．
因此f（x）在x=2處取得極小值，所以x₀=2．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（2）=5，
得

3a+2b+c=0 12a+4b+c=0 8a+4b+2c=5

，
解得a=

5

2

，b=-

45

4

，c=15；
（3）由（1）知函數(shù)在x=1處取得極大值f（1）=

25

4

．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．