Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（-x²+6x-5）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，-x²+6x-5＞0，從而求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）由題意，令μ=-x²+6x-5，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；
（3）由（2）知，log₂u在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，從而求函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）由題意得：-x²+6x-5＞0，解得1＜x＜5，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（1，5）．
（2）∵μ=-x²+6x-5在區(qū)間（1，3]上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）=log₂u在R上也是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（1，3]．
同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：[3，5）．
（3）∵log₂u在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的值域是：（-∞，2]．

點評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間及值域的求法，屬于中檔題．