Question

對于函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2，（a≠0），若存在實數(shù)x₀，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．
（1）當a=2，b=-2時，求f（x）的不動點；
（2）當a=2時，函數(shù)f（x）在（-2，3）內(nèi)有兩個不同的不動點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不相同的不動點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a，b的值代入方程解出即可；（2）把a=2代入，得到二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得不等式組，解出即可；（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)，得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）當a=2，b=-2時，f（x）=2x²-x-4，
∴由f（x）=x得2x²-x-4=x，即：2x²-x-2=0，
∴x=-1或x=2，
∴f（x）的不動點為-1，2；
（2）當a=2時，則f（x）=2x²+（b+1）x+b-2，
由題意得f（x）=x在（-2，3）內(nèi)有兩個不同的不動點，
即方程2x²+（b+1）x+b-2=0，
 在（-2，3）內(nèi)的兩個不相等的實數(shù)根，
設(shè)g（x）=2x²+（b+1）x+b-2，
∴只須滿足

g(-2)=8-2b+b-2＞0 g(3)=18+3b+b-2＞0 -2＜- b 4 ＜3 b2-8(b-2)＞0

，
∴

b＜6 b＞-4 -12＜b＜8 b≠4

，
∴-4＜b＜4或4＜b＜6；
（3）由題意得：對于任意實數(shù)b，方程ax²+bx+b-2=0總有兩個不相等的實數(shù)解，
∴

a≠0 △=b2-4a(b-2)＞0

，
∴b²-4ab+8a＞0 對b∈R恒成立，
∴16a²-32a＜0，
∴0＜a＜2．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了新定義問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．