Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

2

3

，且對(duì)任意的n∈N^*都有a_n+1=

2an

an+1

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*都有a_n+1＜pa_n，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用a_n+1=

2an

an+1

．可得

1

an+1

-1=

1+an

2an

-1=

1

2

（

1

an

-1）；再求出首項(xiàng)不為0即可證：{

1

an

-1}是等比數(shù)列；即可求得結(jié)論．
（1）利用（1）的結(jié)論，代入a_n+1＜pa_n把其整理為p＞1+

1

1+2n+1

，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式右邊的取值范圍即可得出實(shí)數(shù)P的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：由a_n+1=

2an

an+1

得

1

an+1

-1=

1+an

2an

-1=

1

2

（

1

an

-1），
又由a₁=

2

3

，

1

a1

-1=

1

2

≠0，
∴{

1

an

-1}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴

1

an

-1=

1

2n

，∴a_n=

2n

2n+1

．
（2）由（1）知a_n=

2n

2n+1

．
∵a_n+1＜pa_n（n∈N₊），
∴p＞

an+1

an

=

2n+1

2n+1+1

•

2n+1

2n

=1+

1

2n+1+1

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

2n+1+1

的值最大，且最大值為

6

5

．
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為p＞

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等比數(shù)列的證明和數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于中檔題目．