Question

某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質(zhì)健康情況．從全體學生中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示．根據(jù)學生體質(zhì)健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良．
（Ⅰ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）將頻率視為概率．根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅲ）從抽取的12人中隨機選取3人，記ξ表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用莖葉圖能求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)．
（Ⅱ）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為

3

4

，由此得到從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為

3

4

，從而能求出“在該校學生中任選3人，至少有1人成績是‘優(yōu)良’”的概率．
（Ⅲ）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86，中位數(shù)為86．…（4分）
（Ⅱ）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為

3

4

，
故從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為

3

4

，…（5分）
設(shè)“在該校學生中任選3人，至少有1人成績是‘優(yōu)良’的事件”為A，
則P（A）=1-

C

0 3

×(1-

3

4

)3=1-

1

64

=

63

64

．…（7分）
（Ⅲ）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．…（8分）
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 12

=

1

220

，P（ξ=1）=

C 1 9 C 2 3

C 3 12

=

27

220

，
P（ξ=2）=

C 2 9 C 1 3

C 2 13

=

108

220

=

27

55

，P（ξ=3）=

C 3 9

C 3 12

=

84

220

=

21

55

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 220	27 220	27 55	21 55

…（12分）
Eξ=0×

1

220

+1×

27

220

+2×

27

55

+3×

21

55

=

9

4

．…（13分）

點評：本小題主要考查莖葉圖、眾數(shù)、中位數(shù)、隨機變量的分布列、期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應(yīng)用意識，考查必然與或然思想等．