Question

【題目】已知函數(shù) ，其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）設(shè)，若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，且，點(diǎn)是曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？證明你的結(jié)論

Answer 1

【答案】（1）或（2）不存在實(shí)數(shù)，使得成立.

【解析】試題分析：（1）求得的解析式，令 ，可得，設(shè)，求得的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值；結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，即可得到的范圍；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，求得的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)整理可得，考慮函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，上式可轉(zhuǎn)化為，設(shè) ，上式即為，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性即可判斷不存在.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， 由題意只有一解.

由得令則令得或

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， 的取值范圍為

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增， 的取值范圍為

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， 的取值范圍為

由題意，得或，從而或，

所以，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）

假設(shè)存在，則有

即

不妨設(shè)，則，兩邊同除，得

令

令

在上單調(diào)遞增

對(duì)恒成立，

在上單調(diào)遞增

又對(duì)恒成立，即（*）式不成立，

不存在實(shí)數(shù)，使得成立.