Question

已知函數，．

(1)若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

(2) 若直線是函數圖象的切線，求的最小值；

(3)當時，若與的圖象有兩個交點，求證：．

（取為，取為，取為）

Answer 1

 解：（1）,則，

∵在上單調遞增，∴對，都有，

即對，都有，∵，∴，故實數的取值范圍是．                           

 (2) 設切點，則切線方程為，

即，亦即，

令，由題意得，……７分

令，則，

當時 ，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增，

∴，故的最小值為．             ………………１０分

（3）由題意知，，

兩式相加得，兩式相減得，

即，∴，

即，　　　　　　　　　　　　    …………１２分

不妨令，記，令，則，

 ∴在上單調遞增，則，

∴，則，∴，

又，

∴，即，

令，則時，，∴在上單調遞增，

又，

∴，則，即．