Question

已知函數(shù)m（x）=x³-

3

x2，h(x)=

3

ax2-3ax
（1）若函數(shù)f（x）=m（x）-h（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）=m（x）-h（x）在（-∞，+∞）不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）判斷過點(diǎn)A(1，-

5

2

)可作曲線f（x）=m（x）+

3

x2-3x多少條切線，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件得，f′（1）=0求得a，注意檢驗(yàn)x=1處導(dǎo)數(shù)的符號；
（2）若函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，則f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a=0應(yīng)有二不等根，則△=12（a+1）²-36a＞0，解出a即可；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，得到方程，構(gòu)造函數(shù)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+

1

2

，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出極值，令極大值大于0，極小值小于0，即可判斷函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)根，即切線有三條．

解答： 解：（1）∵函數(shù)m（x）=x³-

3

x2，h(x)=

3

ax2-3ax，
∴f（x）=m（x）-h（x）=x³-

3

（1+a）x²+3ax，
∴f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a，
∵f′（1）=0，∴3+3a-2

3

（a+1）=0∴a=-1，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），顯然在x=1附近f′（x）符號不同，
∴x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴a=-1即為所求； 
（2）∵m（x）=x³-

3

x2，h(x)=

3

ax2-3ax，
∴∴f（x）=m（x）-h（x）=x³-

3

（1+a）x²+3ax，
若函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，
則f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a=0應(yīng)有二不等根，
∴△=12（a+1）²-36a＞0∴a²-a+1＞0恒成立，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為R；
（3）∵m（x）=x³-

3

x²，∴f（x）=m（x）+

3

x²-3x=x³-3x，
∴f'（x）=3（x²-1），設(shè)切點(diǎn)M（x₀，y₀），
則M的縱坐標(biāo)y0=x03-3x0，又f′(x0)=3(x02-1)，
∴切線的斜率為3(x02-1)=

x03-3x0+ 5 2

x0-1

，得2x03-3x02+

1

2

=0，
設(shè)g（x₀）=2x03-3x02+

1

2

，∴g'（x₀）=6x02-6x0
由g'（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1，
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的極大值點(diǎn)為x₀=0，極小值點(diǎn)為x₀=1，
∵

g(0)= 1 2 ＞0 g(1)=- 1 2 ＜0

∴函數(shù)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+

1

2

有三個(gè)零點(diǎn)，
∴方程2x₀³-3x₀²+

1

2

=0有三個(gè)實(shí)根，
∴過點(diǎn)A(1，-

5

2

)可作曲線y=f（x）的三條切線．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值的符號與零點(diǎn)的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．